练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2+
    		2
    ，S3=12+3
    		2
    ．
    （1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
    （2）记bn=an-
    		2
    ，若自然数n1，n2，…，nk，…满足1≤n1＜n2＜…＜nk＜…，并且b n1，b n2，…，b nk，…成等比数列，其中n1=1，n2=3，求nk（用k表示）；
    （3）试问：在数列{an}中是否存在三项ar，as，at（r＜s＜t，r，s，t∈N*）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）由a1=2+
    		2
    ，S3=12+3
    		2
    利用等差数列的前n项和公式列方程组求出公差，则数列{an}的通项公式an及前n项和Sn可求；
    （2）由bn=an-
    		2
    =2n，再求出等比数列{bnk}的通项公式，由两式相等求得求nk；
    （3）假设存在三项ar，as，at成等比数列，则as2=ar•at，利用等差数列{an}的通项公式代入，得到矛盾的式子，从而得到结论．
    解答：解：（1）因为a1=2+
    		2
    ，S3=3a1+3d=12+3
    		2
    ，所以d=2．
    所以an=a1+（n-1）d=2n+
    		2
    ，Sn=
    n(a1+an)
    2
    =
    n(2+
    		2
    +2n+
    		2
    )
    2
    =n2+(
    		2
    +1)n    ；
    （2）因为bn=an-
    		2
    =2n，所以bnk=2nk．
    又因为数列{bnk}的首项bn1=b1=2，
    公比q=
    bn2
    bn1
    =
    3
    1
    =3    ，所以bnk=2•3k-1．
    所以2nk=2•3k-1，即nk=3k-1．
    （3）假设存在三项ar，as，at成等比数列，则as2=ar•at，
    即有(2s+
    		2
    )2=(2r+
    		2
    )(2t+
    		2
    )    ，整理得(rt-s2)
    		2
    =2s-r-t    ．
    若rt-s2≠0，则
    		2
    =
    2s-r-t
    rt-s2
    ，因为r，s，t∈N*，所以
    2s-r-t
    rt-s2
    是有理数，
    这与
    		2
    为无理数矛盾；
    若rt-s2=0，则2s-r-t=0，从而可得r=s=t，这与r＜s＜t矛盾．
    综上可知，不存在满足题意的三项ar，as，at．
    点评：本题考查了等差和等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，考查了学生灵活处理和解决问题的能力，解答此题的关键是等价代换，此题是中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源：江苏省南京市四校2012届高三12月月考数学试题 题型：044

    记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2＋，S3＝12＋3．

    (1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；

    (2)记bn＝an－，若自然数n1，n2，…，nk，…满足1≤n1＜n2＜…＜nk＜…，并且，，…，，…成等比数列，其中n1＝1，n2＝3，求nk(用k表示)；

    (3)试问：在数列{an}中是否存在三项ar，as，at(r＜s＜t，r，s，t∈N*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：2011-2012学年江苏省高三元月双周练习数学试卷 题型：解答题

    (本小题满分16分)记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2＋，S3＝12＋．

    （1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；

    （2）记bn＝an－，若自然数n1，n2，…，nk，…满足1≤n1＜n2＜…＜nk＜…，并且，，…，，…成等比数列，其中n1＝1，n2＝3，求nk（用k表示）；

    （3）试问：在数列{an}中是否存在三项ar，as，at(r＜s＜t，r，s，t∈N*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

     

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2+
    		2
    ，S3=12+3
    		2
    ．
    （1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
    （2）记bn=an-
    		2
    ，若自然数n1，n2，…，nk，…满足1≤n1＜n2＜…＜nk＜…，并且b n1，b n2，…，b nk，…成等比数列，其中n1=1，n2=3，求nk（用k表示）；
    （3）试问：在数列{an}中是否存在三项ar，as，at（r＜s＜t，r，s，t∈N*）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2＋，S3＝12＋．

    （1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；

    （2）记bn＝an－，若自然数n1，n2，…，nk，…满足1≤n1＜n2＜…＜nk＜…，并且，，…，，…成等比数列，其中n1＝1，n2＝3，求nk（用k表示）；

    （3）试问：在数列{an}中是否存在三项ar，as，at(r＜s＜t，r，s，t∈N*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案