Question

（2011•孝感模拟）如图，正四面体ABCD的外接球球心为D，E是BC的中点，则直线OE与平面BCD所成角的正切值为

2

2

．

Answer 1

分析：欲求直线OE与平面BCD所成角的正切值，需先找到直线在平面上的射影的位置，直线与它的射影所成角即直线OE与平面BCD所成角，根据四面体ABCD为正四面体，可得O点在平面BCD上的射影在DE上，在根据正四面体的性质，即可求∠OED的正切值．

解答：解：设正四面体ABCD的棱长为a，连接AE，DE，
∵四面体ABCD为正四面体，E为BC的中点，
∴AE=DE=

3

2

a，O点在平面ADE上，且OE等分∠AED
过O作OH垂直平面BCD，交平面BCD与H点，则H落在DE 上，
∴∠OED为直线OE与平面BCD所成角，∠OED=

1

2

∠AED
在△AED中，cos∠AED=

AE2+DE2-AD2

2AE•DE

=

( 3 a 2 )2+( 3a 2 )2-a2

2 3 a 2 • 3 a 2

=

1

3

，
∴cos²∠OED=cos

1

2

∠AED=

1+ 1 3

2

=

2

3

，sin²∠OED=

1

3

∴tan²∠OED=

1

2

，tan∠OED=

2

2

故答案为

2

2

点评：本题主要考查了正四面体中的线面角的求法，综合考查了学生的空间想象力，公式的运用，以及计算能力．