Question

【题目】定义在实数集上的可导函数是偶函数，若对任意实数都有恒成立，则使关于的不等式成立的数的取值范围为（ ）

A.B.(-1，1)C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出x＜0的取值范围．

解：当x＞0时，由可知：两边同乘以2x得：

2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0；

设：g（x）＝x2f（x）﹣x2，

则g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0恒成立；

∴g（x）在（0，+∞）单调递减，

由x2f（x）﹣f（1）＞x2﹣1；

∴x2f（x）﹣x2＞f（1）﹣1；

即g（x）＞g（1），

即0＜x＜1；

由于函数f（x）是偶函数，∴g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）﹣（﹣x）2＝x2f（x）﹣x2＝g（x）；

所以g（x）＝x2f（x）﹣x2也是偶函数；

当x＜0时，同理得：﹣1＜x＜0．

综上可知：实数x的取值范围为：（﹣1，0）∪（0，1）．

故选：C．