Question

若f（x）满足f（-x）=-f（x），且在（-∞，0）内是增函数，又f（-2）=0，则xf（x）＞0的解集是（　　）

A．（-2，0）∪（0，2）

B．（-∞，-2）∪（0，2）

C．（-∞，-2）∪（2，+∞）

D．（-2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析：由f（-x）=-f（x）可知f（x）的奇偶性，再根据f（x）在（-∞，0）上的单调性可得f（x）在（0，+∞）上的单调性，及特殊点可作出f（x）的草图，由图象可解得不等式．

解答：解：由f（-x）=-f（x），知f（x）为奇函数，
又∵f（x）在（-∞，0）内是增函数，
∴f（x）在（0，+∞）内也是增函数，
又∵f（-2）=0，
∴f（2）=-f（-2）=0，
作出函数f（x）的草图如图所示：
由图象得，xf（x）＞0?

x＞0 f(x)＞0

或

x＜0 f(x)＜0

?

x＞0 x＞2或-2＜x＜0

或

x＜0 x＜-2或0＜x＜2

?x＞2或x＜-2，
∴xf（x）＞0的解集是（-∞，-2）∪（2，+∞）．
故选C．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查数形结合思想，根据性质画出函数的草图是解决问题的有效方法．