Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 且Sn=2﹣an ， n∈N* ， 设函数f（x）=log x，数列{bn}满足bn=f（an），记{bn}的前n项和为Tn ． （Ⅰ）求an及Tn；
（Ⅱ）记cn=anbn ， 求cn的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由Sn=2﹣an ， 得a1=1； 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2﹣an=（2﹣an﹣1）=an﹣1﹣an ，
∴ ，
则数列{an}是公比q= ，首项a1=1的等比数列，
∴ ，
∴bn=f（an）=n﹣1，
则 ；
（Ⅱ）cn=anbn=（n=1） ，
由cn+1﹣cn= ．
当n=1时，c2＞c1；
当n=2时，c3=c2；
当n≥3时，cn+1＞cn ．
∴
【解析】（Ⅰ）由已知数列递推式求得首项，进一步得到数列{an}是公比q= ，首项a1=1的等比数列，求其通项公式，代入bn=f（an），得{bn}为等差数列，则{bn}的前n项和为Tn可求；（Ⅱ）把an ， bn代入cn=anbn ， 由作差法可得单调性，利用单调性求得cn的最大值．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．