【题目】如图,已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 , DD1⊥底面ABCD,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=45°,且AD,AB,AA1三条棱的长组成公比为 的等比数列,
(1)求异面直线AD1与BD所成角的大小;
(2)求二面角B﹣AD1﹣D的大小.
【答案】
(1)解:不妨设AD=1,∵AD,AB,AA1三条棱的长组成公比为 的等比数列,∴AB=
,AA1=2.
在△ABD中,DB2= =1,解得DB=1.∴AD2+DB2=AB2,∠ADB=90°.
∴AD⊥DB.
∵DD1⊥底面ABCD,DB平面ABCD,∴DD1⊥DB,
又AD∩DD1=D,
∴DB⊥平面ADD1,
∴DB⊥AD1,
∴异面直线AD1与BD所成角为90°
(2)解:由(1)可得:DB⊥平面ADD1.
在Rt△ADD1中,经过点D作DO⊥AD1,垂足为O,连接OB,则OB⊥AD1.
∴∠BOD即为二面角B﹣AD1﹣D的平面角.
在Rt△ADD1中,OD= =
=
.
在Rt△ODB中,tan∠BOD= =
=
.
∴∠BOD=arctan .
【解析】(1)不妨设AD=1,由AD,AB,AA1三条棱的长组成公比为 的等比数列,可得AB=
,AA1=2.在△ABD中,利用余弦定理可得:DB=1.利用勾股定理的逆定理可得∠ADB=90°.由DD1⊥底面ABCD,可得DD1⊥DB,可得DB⊥平面ADD1 , 即可得出异面直线AD1与BD所成角.(2)由(1)可得:DB⊥平面ADD1 . 在Rt△ADD1中,经过点D作DO⊥AD1 , 垂足为O,连接OB,可得OB⊥AD1 . ∠BOD即为二面角B﹣AD1﹣D的平面角.利用直角三角形的边角关系即可得出.
【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线及其所成的角的相关知识,掌握异面直线所成角的求法:1、平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;2、补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系.
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【题目】已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)﹣f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0.
(1)求f(0)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)若g(x)=kx﹣2k+5,对任意的m∈[1,4],总存在n∈[1,4],使得f(m)=g(n)成立,求实数k的取值范围.
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【题目】已知集合A={x|2x2+ax+2=0,a∈R},B={x|x2+3x+2a=0,a∈R},A∩B={2}且A∪B=I,则(IA)∪(IB)=( )
A.{﹣5, }
B.{﹣5, ,2}
C.{﹣5,2}
D.{ ,2}
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【题目】已知z为复数,ω=z+ 为实数,
(1)当﹣2<ω<10,求点Z的轨迹方程;
(2)当﹣4<ω<2时,若u= (α>0)为纯虚数,求:α的值和|u|的取值范围.
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【题目】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
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【题目】在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的回归方程 ;
(2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(1)求出的回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)计算回归系数 ,
.公式为
.
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