Question

【题目】已知等差数列{an}前5项和为50，a7=22，数列{bn}的前n项和为Sn ， b1=1，bn+1=3Sn+1． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{cn}满足 ，n∈N* ， 求c1+c2+…+c2017的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d．

依题意得 ，

解得a1=4，d=3，

所以an=a1+（n﹣1）d=3n+1．

当n=1时，b2=3b1+1=4，

当n≥2时，bn+1=3Sn+1，bn=3Sn﹣1+1，

以上两式相减得bn+1﹣bn=3bn，则bn+1=4bn，

又b2=4b1，所以bn+1=4bn，n∈N*．

所以{bn}为首项为1，公比为4的等比数列，

所以 ．

（Ⅱ）因为 ，n∈N*

当n≥2时， ，

以上两式相减得 ，所以 ，n≥2．

当n=1时， ，所以c1=a2b1=7，不符合上式，

所以c1+c2+…+c2017=7+3（4+42+…+42016）=

【解析】（I）设等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可首项和公差，即可求出数列{an}的通项公式，再根据数列的递推公式可得所以{bn}为首项为1，公比为4的等比数列，即可求出数列{bn}的通项公式（II）根据数列的递推公式先求出{cn}的通项公式，再分组求和．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．