Question

考虑以下数列{a_n}，n∈N^*：
①a_n=n²+n+1；
②a_n=2n+1；
③a_n=ln

n

n+1

．
其中满足性质“对任意的正整数n，

an+2+an

2

≤a_n+1都成立”的数列有（　　）

• A、①②③
• B、②③
• C、①③
• D、①②

Answer 1

考点：数列的函数特性,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：对于①，

a1+a3

2

=

3+13

2

=8＞a2=7，故①成立；对于②，数列{2n+1}是等差数列，故②成立；对于③，a_n+2+a_n=ln（

n+2

n+3

•

n

n+1

），2a_n+1=ln（

n+1

n+2

）²，又

n+2

n+3

•

n

n+1

-(

n+1

n+2

)2=

-2n-3

(n+3)(n+1)(n+2)2

＜0，故③成立．

解答： 解：对于①，

a1+a3

2

=

3+13

2

=8＞a2=7，
因此{a_n}不满足性质“对任意的正整数n，

an+2+an

2

≤a_n+1都成立”．
对于②，数列{2n+1}是等差数列，故有，

an+2+an

2

=a_n+1，
因此{a_n}满足性质“对任意的正整数n，

an+2+an

2

≤a_n+1都成立”．
对于③，a_n+2+a_n=ln（

n+2

n+3

•

n

n+1

），2a_n+1=ln（

n+1

n+2

）²，
又

n+2

n+3

•

n

n+1

-(

n+1

n+2

)2=

-2n-3

(n+3)(n+1)(n+2)2

＜0，
即有

an+2+an

2

≤a_n+1，因上{a_n}满足性质“对任意的正整数n，

an+2+an

2

≤a_n+1都成立”．
综上所述，满足性质“对任意的正整数n，

an+2+an

2

≤a_n+1都成立”的数列为②③．
故选：B．

点评：本题考查数列对于满足条件的性质是不存在的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．