Question

设函数f（x）=xe^x，g（x）=ax²+x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥g（x）在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（2）令h（x）=x（e^x-1-ax），令m（x）=（e^x-1-ax），x∈[0，+∞），由此利用导数判断函数m（x）的单调性，即能求出a的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=xe^x，的导数为f′（x）=e^x+xe^x=（x+1）•e^x，
令f′（x）＞0，解得，x＞-1；令f′（x）＜0，解得，x＜-1．
则f（x）的单调增区间为（-1，+∞）；单调减区间为（-∞，-1）．
（2）h（x）=f（x）-g（x）═x（e^x-1-ax），
令m（x）=e^x-1-ax，x∈[0，+∞），
m'（x）=e^x-a，m（0）=0
当a≤1时，m'（x）=e^x-a＞0，m（x）在[0，+∞）上为增函数，
而m（0）=0，从而当x≥0时，h（x）≥0恒成立．
当a＞1时，令m'（x）=e^x-a=0，得x=lna．
当x∈（0，lna）时，m'（x）＜0，
m（x）在（0，lna）上是减函数，
而m（0）=0，从而当x∈（0，lna）时，m（x）＜0，即h（x）＜0
综上，a的取值范围是（-∞，1]．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式恒成立问题转化为求函数单调性的运用，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．