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【题目】已知函数.

①求证:在区间上单调递减;

②求函数在区间上的值域.

对于任意,都有,求实数的取值范围.

【答案】①证明见解析;②.

【解析】

①先求导得,令,有,当时,,所以所以,进而证出在区间上单调递减;②由①知:函数单调递减函数在区间上单调递减,,进而得出结果;

先整理不等式得,转化为函数在区间为增函数,再转化为对应函数导数恒非负,分离变量得最小值,最后利用导数求函数单调性,得最值,得出实数的取值范围.

解:①当时,

,有

时,,所以所以

故当时,函数单调递减,

②由①知:函数单调递减.

函数在区间上单调递减,

故函数在区间上的值域为.

,有

可化为

整理为:

即函数在区间为增函数,

故当时,

①当时,

②当时,整理为:

,有

,有

时,由,有,可得

由上知时,函数单调递减,

,故有:,可得.

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(1)通过分析可以认为学生初试成绩服从正态分布,其中,试估计初试成绩不低于90分的人数;

(2)已知小强已通过初试,他在复试中单选题的正答率为,多选题的正答率为,且每道题回答正确与否互不影响.记小强复试成绩为,求的分布列及数学期望.

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