Question

在△ABC中，求分别满足下列条件的三角形形状：
（Ⅰ）B=60°，b²=ac；    
（Ⅱ）sinC=

sinA+sinB

cosA+cosB

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosB，将B度数及b²=ac代入，整理后得到a=c，再由B度数为60°，即可判断出三角形为等边三角形；    
（Ⅱ）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理化简，整理后利用勾股定理即可判断出三角形为直角三角形．

解答：解：（Ⅰ）∵B=60°，b²=ac，
∴由余弦定理得：cosB=cos60°=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

=

1

2

，
整理得：a²+c²-ac=ac，即（a-c）²=0，
∴a=c，又B=60°，
则△ABC为等边三角形；
（Ⅱ）将sinC=

sinA+sinB

cosA+cosB

利用正弦定理化简得：c（cosA+cosB）=a+b，
再由余弦定理：c•

b2+c2-a2

2bc

+c•

a2+c2-b2

2ac

=a+b，
整理得：（a+b）（c²-a²-b²）=0，
∴c²-a²-b²=0，即c²=a²+b²，
则△ABC为直角三角形．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，勾股定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．