Question

给定整数n≥2，设M₀（x₀，y₀）是抛物线y²=nx-1与直线y=x的一个交点．试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使（

x

m 0

，y

m 0

）为抛物线y²=kx-1与直线y=x的一个交点．

Answer 1

分析：先求抛物线y²=nx-1与直线y=x的交点，证明n≥2，再设（

x

m 0

，

y

m 0

）为抛物线y²=kx-1与直线y=x的一个交点，证明k=

x

m 0

+

1

x m 0

，满足k≥2，即可证得结论．

解答：证明：y²=nx-1与y=x联立，可得x²-nx+1=0，∴x=

n± n2-4

2

∴x₀=y₀=

n± n2-4

2

．
∴x₀+

1

x0

=n≥2．…（5分）
若（

x

m 0

，

y

m 0

）为抛物线y²=kx-1与直线y=x的一个交点，则k=

x

m 0

+

1

x m 0

．…（10分）
记k_m=

x

m 0

+

1

x m 0

，由于k₁=n是整数，k₂=

x

2 0

+

1

x 2 0

=（x₀+

1

x0

）²-2=n²-2也是整数，
且k_m+1=k_m（x₀+

1

x0

）-k_m-1=nk_m-k_m-1，（m≥2）①
所以对于一切正整数m，k_m=

x

m 0

+

1

x m 0

是正整数，且k_m≥2现在对于任意正整数m，
取k=

x

m 0

+

1

x m 0

，满足k≥2，且使得y²=kx-1与y=x的交点为（

x

m 0

，

y

m 0

）．…（12分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查基本不等式的运用，属于中档题．