Question

【题目】已知几何体如图所示，其中两两互相垂直且，且.

（1）求此几何体的体积；

（2）求异面直线与所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）；(2).

【解析】

(1) 首先证明平面,再证明底面为梯形CEDB为梯形，利用四棱锥的体积公式可求出体积；

(2) 在线段EC上取点F,使得EF=BD=1，连接BF,AF,构造平行四边形EFBD，在中，运用余弦定理即可求得答案.

（1）∵两两互相垂直，∴,又∵平面,

∴平面,又,故底面为梯形，所以几何体为四棱锥，体积为

（2）

在线段EC上取点F,使得EF=BD=1，连接BF,AF,则四边形EFBD为平行四边形，DE//BF,则∠FBA即为异面直线与所成角，，所以,,,

在中，由余弦定理可得,即,解得，即异面直线与所成角的余弦值为.