【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,,E是PC的中点,平面PAC⊥平面ABCD.
(1)证明:ED∥平面PAB;
(2)若,求二面角A﹣PC﹣D的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)取PB的中点F,连接AF,EF,通过证明四边形ADEF是平行四边形,得到DE∥AF,从而证出ED∥平面PAB;
(2)通过做辅助线找到二面角A﹣PC﹣D的平面角,求出其余弦值即可.
(1)证明:取PB的中点F,连接AF,EF.
∵EF是△PBC的中位线,∴EF∥BC,且EF.
又AD=BC,且ADBC,∴AD∥EF且AD=EF,
∴四边形ADEF是平行四边形.∴DE∥AF,
又DE面ABP,AF面ABP,
∴ED∥面PAB.
(2)解:取BC的中点M,连接AM,则AD∥MC且AD=MC,
∴四边形ADCM是平行四边形,
∴AM=MC=MB,则A在以BC为直径的圆上.
∴AB⊥AC,可得AC.
过D作DG⊥AC于G,
∵平面PAC⊥平面ABCD,且平面PAC∩平面ABCD=AC,
∴DG⊥平面PAC,则DG⊥PC.
过G作GH⊥PC于H,则PC⊥面GHD,连接DH,则PC⊥DH,
∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角.
在△ADC中,GD,
连接AE, cos∠ACE,
AE,
∵点P到AC的距离d1,
∴点A到PC的距离.
GH.
在Rt△GDH中,HD,
∴cos∠GHD.
即二面角A﹣PC﹣D的余弦值为.
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【题目】圆锥如图①所示,图②是它的正(主)视图.已知圆
的直径为
,
是圆周上异于
的一点,
为
的中点.
(I)求该圆锥的侧面积S;
(II)求证:平面⊥平面
;
(III)若∠CAB=60°,在三棱锥中,求点
到平面
的距离.
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【题目】已知变量、
之间的线性回归方程为
,且变量
、
之间的一-组相关数据如下表所示,则下列说法错误的是( )
A.可以预测,当时,
B.
C.变量之间呈负相关关系D.该回归直线必过点
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【题目】已知在平面直角坐标系中,坐标原点为,点
,
、
两点分别在
轴和
轴上运动,并且满足
,
,动点
的轨迹为曲线
.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)作曲线的任意一条切线(不含
轴)
,直线
与切线
相交于
点,直线
与切线
、
轴分别相交于
点与
点,试探究
的值是否为定值,若为定值请求出该定值;若不为定值请说明理由.
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【题目】如图,某人工景观湖外围有两条相互垂直的直线型公路ll,l2,且ll和l2交于点O.为了方便游客游览,计划修建一条连接公路与景观湖的直线型公路AB.景观湖的轮廓可以近似看成一个圆心为O,半径为2百米的圆,且公路AB与圆O相切,圆心O到ll,l2的距离均为5百米,设OAB=,AB长为L百米.
(1)求L关于的函数解析式;
(2)当为何值时,公路AB的长度最短?
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【题目】设函数分别在
、
处取得极小值、极大值.
平面上点
、
的坐标分别为
、
,该平面上动点
满足
,点
是点
关于直线
的对称点.
(Ⅰ)求点、
的坐标;
(Ⅱ)求动点的轨迹方程.
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【题目】已知抛物线的焦点为
,过点
,斜率为1的直线与抛物线
交于点
,
,且
.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点作直线交抛物线
于不同于
的两点
、
,若直线
,
分别交直线
于
两点,求
取最小值时直线
的方程.
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