Question

【题目】设n∈N* ， n≥3，k∈N* ．
（1）求值： ①kCnk﹣nCn﹣1k﹣1；
② （k≥2）；
（2）化简：12Cn0+22Cn1+32Cn2+…+（k+1）2Cnk+…+（n+1）2Cnn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：

① =

②

=

= = ．

（2）解：方法一：由（1）可知当k≥2时 = ．

故

= =（1+4n）+n（n﹣1）2n﹣2+3n（2n﹣1﹣1）+（2n﹣1﹣n）=2n﹣2（n2+5n+4）．

方法二：当n≥3时，由二项式定理，有 ，

两边同乘以x，得 ，

两边对x求导，得 ，

两边再同乘以x，得 ，

两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x= ．

令x=1，得2n+n2n﹣1+n（n﹣1）2n﹣2+2n2n﹣1= ，

即 =2n﹣2（n2+5n+4）

【解析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时 = ．代入化简即可得出．方法二：当n≥3时，由二项式定理，有 ，两边同乘以x，得 ， 两边对x求导，得 ，两边再同乘以x，得 两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x= ．
令x=1，即可得出．
【考点精析】本题主要考查了组合与组合数的公式的相关知识点，需要掌握从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合才能正确解答此题．