Question

【题目】已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直.

（1）求的值；

（2）函数恰有两个零点，求函数的单调区间及实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）依题意可知，切线的斜率为，即，由此解得；（2）先求得的表达式，，利用导数可求得的极小值，也即是最小值，只需最小值小于零就可以.由此求得取值范围是.

试题解析：

（1）函数的定义域为.由，且，解得a=1.

（2）因为则 .

（ⅰ）当即时，，所以g（x）在上单调递减此时只存在一个零点，不合题意.

（ⅱ）当m<1时，令，解得 .

当x变化时，g（x）与的变化情况如下表：

x	（0,）
	—	0	+
g（x）	↘	极小值	↗

由题意可知，.

下面判断极小值的正负。

设，m<1

（1）当m=0时，h（0）=0，即

此时g（x）恰有一个零点不合题意。

（2）当时，

当m<0时，； 当0<m<1时，

所以h（m）在上单调递增，在（0,1）单调递减。

所以h（m）<h（0）=0，此时g（x）恰有两个零点。

综上，m的取值范围是.