Question

已知函数f（x）=2

3

sinx•cosx+cos²x-sin²x-1（x∈R）
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用倍角公式、两角和的正弦化简．
（1）直接利用复合函数的单调性求得函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）由x得范围，求得相位的范围，然后可得f（x）的值域．

解答： 解：f（x）=2

3

sinx•cosx+cos²x-sin²x-1
=

3

sin2x+cos2x-1=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)-1
=2sin(2x+

π

6

)-1．
（1）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

π

3

+kπ≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴函数y=f（x）的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z；
（2）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
则f（x）∈[-2，1]．

点评：本题考查了倍角公式、两角和的正弦，考查了与三角函数有关的简单的复合函数的单调性，考查了三角函数值域的求法，是基础题．