Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

4

），则下列命题正确的是（　　）

• A．函数y=f（x）的图象关于点（-

  π

  4

  ，0）对称
• B．函数y=f（x）在区间（-

  π

  2

  ，0）上是增函数
• C．函数y=f（x+

  π

  8

  ）是偶函数
• D．将函数y=sin2x的图象向左平移

  π

  4

  个单位得到函数y=f（x）的图象

Answer 1

分析：求出函数f（x）的对应的对称中心和对称轴，即可判断A和C的正误；根据正弦函数的单调行可判断B不对；对根据左加右减的原则函数y=sin2x进行平移，进而可判断D；从而可判断答案．

解答：解：当2x+

π

4

=kπ时，即x=

1

2

kπ-

π

8

（k∈Z），函数y=f（x）的图象关于点（

1

2

kπ-

π

8

，0）对称，当k=0时，点（

1

2

kπ-

π

8

，0）即点（-

π

8

，0）．故选项A错；
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，
∴函数f（x）在区间（-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ ）上单调递增，当k=0时函数f（x）在区间（-

3π

8

，

π

8

）上单调递增，故B不对；
令2x+

π

4

=

π

2

+kπ，∴x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z），故函数f（x）的对称轴是x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z），故函数y=f（x+

π

8

）对称轴是x=

kπ

2

（k∈Z），
当k=0时，即关于y轴对称，故是偶函数，故C对；
将函数y=sin2x的图象向左平移

π

4

个单位得到函数y=sin（2x+

π

2

）的图象，不是函数f（x），D不对．
故选C．

点评：本题主要考查三角函数的基本性质--单调性与对称性．高考对三角函数的考查以基础题为主，平时要注意基础知识的积累，到高考时才能做到游刃有余．