Question

已知函数f（x）满足对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）f（y）-f（x）-f（y）+2成立，且x＞0时，f（x）＞2．
（1）求f（0）的值，并证明：当x＜0时，1＜f（x）＜2；
（2）判断f（x）的单调性并加以证明．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）令y=0得，f（x）=f（x）f（0）-f（x）-f（0）+2，[f（x）-1][f（0）-2]=0；从而解得f（0）=2；再令x+y=0，y=-x，从而证明x＜0时，1＜f（x）＜2；
2）先判断f（x）是单调增函数，再由定义法证明函数的单调性．

解答： 解：（1）令y=0得，f（x）=f（x）f（0）-f（x）-f（0）+2，
即[f（x）-1][f（0）-2]=0；
又∵x＞0时，f（x）＞2；
∴f（0）-2=0，即f（0）=2；
∵f（x+y）=f（x）f（y）-f（x）-f（y）+2=[f（x）-1][f（y）-1]+1，
∴f（x+y）-1=[f（x）-1][f（y）-1]，
设x+y=0，y=-x，
f（0）-1=[f（x）-1][f（-x）-1]=1，
又∵x＞0时，f（x）＞2，
∴f（x）-1=

1

f(-x)-1

＞1，
即0＜f（-x）-1＜1，故，1＜f（-x）＜2，
故x＜0时，1＜f（x）＜2；
2）f（x）是单调递增函数，证明如下，
任取x₁＞x₂，x₁-x₂＞0，f（x₁-x₂）＞2，f（x₂）＞1；
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）
=f（x₁-x₂）f（x₂）-f（x₁-x₂）-f（x₂）+2-f（x₂）
=f（x₁-x₂）[f（x₂）-1]-2[f（x₂）-1]
=[f（x₁-x₂）-2][f（x₂）-1]＞0
故f（x₁）＞f（x₂），
则f（x）是单调递增函数．

点评：本题考查了抽象函数的值域的求法及函数的单调性的判断与证明，属于中档题．