Question

（2013•安庆三模）已知函数f（x）=ax³-8x与g（x）=bx²+cx的图象都过点P（2，0），且它们在点P处有公共切线．
（1）求函数f（x）和g（x）的表达式及在点P处的公切线方程；
（2）设F（x）=

mg(x)

8x

+ln（x-1），其中m∈R，求F（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）求导数，利用图象都过点P（2，0），在点P处有公共切线，建立方程，即可求得结论；
（2）求导数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³-8x过点P（2，0），
∴a=2，f（x）=2x³-8x，…（2分）
∵f′（x）=6x²-8，∴切线的斜率k=f′（2）=16．
∵g′（x）=2bx+c，f′（2）=g′（2）=4b+c=16…（1）
又∵g（x）=bx²+cx的图象过点P（2，0），∴4b+2c=0…（2）
联立（1）（2）解得：b=8，c=-16                               …（4分）
∴g（x）=8x²-16x；
切线方程为y=16（x-2），即16x-y-32=0     …（6分）
（2）∵F（x）=

mg(x)

8x

+ln（x-1）=m（x-2）+ln（x-1），
∴F′（x）=m+

1

x-1

=

m[x-(1- 1 m )]

x-1

（x＞1）…（9分）
①当m＜0时，1-

1

m

＞1．
又x＞1，∴当x∈(1，1-

1

m

)时，F′（x）＞0；
当x∈(1-

1

m

，+∞)时，F′（x）＜0．
∴F（x）的单调减区间是(1-

1

m

，+∞)，单调增区间是（1，1-

1

m

）；      …（11分）
②当m≥0时，显然F（x）没有单调减区间，单调增区间是（1，+∞）．   …（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，正确求导，合理分类是关键．