Question

如图，多面体P-ABCD的直观图及三视图如图所示，E，F分别为PC、BD的中点
（1）求证：EF∥平面PAD
（2）求证：平面PDC⊥平面PAD
（3）求V_P-ABCD

Answer 1

分析：（1）欲证EF∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面PAD内一直线平行，根据中位线定理可知EF∥PA，且PA?平面PAD，EF?平面PAD，满足定理所需条件；
（2）欲证平面PAD⊥平面PDC，根据面面垂直的判定定理可知在平面PDC内一直线与平面PAD垂直，而根据题意可得CD⊥平面PAD，CD?平面PAD，满足定理所需条件；
（3）点P到平面ABCD的距离为1，然后利用锥体的体积公式进行求解即可．

解答：证明：由多面体P-ABCD的三视图知，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，
侧面PAD是等腰三角形，PA=PD=

2

，且平面PAD⊥平面ABCD（3分）
（1）连接AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA，且
PA?平面PAD，EF?平面PAD
∴EF∥平面PAD（6分）
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，其交线为AD，
CD?平面ABCD
又　CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又CD?平面PAD
∴平面PAD⊥平面PDC（9分）
（3）由（1）知点P到平面ABCD的距离为1，则V_P-ABCD=

1

3

×2×2×1=

4

3

（12分）

点评：本题主要考查了线面平行的判定和面面垂直的判定，同时考查了几何体的体积的度量和论证推理能力，属于中档题．