Question

【题目】（2016年苏州B19）已知函数f(x)=x|x－a|，a∈R，g(x)=x2－1.

（1）当a=1时，解不等式f(x)≥g(x)；

（2）记函数f(x)在区间[0，2]上的最大值为F(a)，求F(a)的表达式.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

【试题分析】（1）借助绝对值的定义讨论当x≥1和x<1两种情形下两个不等式的解集，最后求这两个二次不等式的并集；（2）依据题设条件运用分类整合思想，对实数a≤0；0<a<2；a≥2分三种情形，分别求出函数f(x)在区间[0，2]上的解析式，进而求出其最大值F(a)，然后再运用分段函数表示函数F(a)的解析式：

（1）解：f(x)≥g(x)，a=1时，即解不等式x|x－1|≥x2－1，

当x≥1时，不等式为x2－x≥x2－1，解得x≤1，所以x＝1；

当x<1时，不等式为x－x2≥x2－1，解得，

所以； 综上， x∈.

（2）因为x∈[0，2]，当a≤0时，f(x)=x2－ax，则f(x)在区间[0，2]上是增函数，

所以F(a)=f(2)=4－2a；

当0<a<2时，，则f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间[a，2]上是增函数，所以F(a)=max{f()，f(2)}，

而，f(2)=4－2a，令即，

解得，

所以当时，F(a)= 4－2a；

令即，解得或，

所以当时，；

当a≥2时，f(x)=－x2＋ax，

当即2≤a<4时，f(x)在间上是增函数，在上是减函数，则；

当，即a≥4时，f(x)在间[0，2]上是增函数，则；

所以， ，