Question

【题目】已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1，

∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；

当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；

综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}

（2）解：原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，

即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．

由（1）知，g（x）= ，

当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1，

∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；

当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2），

∴g（x）≤g（ ）=﹣ + ﹣1= ；

当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2，

∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；

综上，g（x）max= ，

∴m的取值范围为（﹣∞， ]

【解析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max= ，从而可得m的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号)．