在直角坐标平面内.我们定义A(x1.y1).B(x2.y2)两点间的“直角距离为D(AB)=|x1-x2|+|y1-y2|．(1)在平面直角坐标系中.写出所有满足到原点的直角距离为2的“格点的坐标(“格点指的是横.纵坐标均为整数的点)(2)求到两定点F1.F2的“直角距离之和为定值2a的动点的轨迹方程.并在直角坐标系内作出该动点的轨迹,(在以下三个条� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

在直角坐标平面内，我们定义A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点间的“直角距离”为D_（AB）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的直角距离为2的“格点”的坐标（“格点”指的是横、纵坐标均为整数的点）
（2）求到两定点F₁、F₂的“直角距离”之和为定值2a（a＞0）的动点的轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹；
（在以下三个条件中任选一个作答，多做不计分，其中选择条件①，满分3分；选择条件②，满分4分；选择③满分6分）
①F₁（-1，0）、F₂（1，0）、a=2；
②F₁（-1，-1）、F₂（1，1）、a=2③F₁（-1，-1）、F₂（1，1）、a=4；
（3）（理科）写出同时满足以下两个条件的所有格点的坐标，并说明理由；
（文科）写出同时满足以下两个条件的所有格点的坐标，不必说明理由；
①到A（-1，-1）、B（1，1）两点的“直角距离”相等；
②到C（-2，-2）、D（2，2）两点的“直角距离”之和最小．

考点：轨迹方程

专题：计算题,新定义,分类讨论

分析：（1）设点P（x，y），则有新定义可得，|x|+|y|=2，运用列举法，即可得到；
（2）由新定义，得到轨迹方程，再由图象关于x，y，原点都对称，即可得到轨迹；
（3）运用新定义，列出方程，以及根据绝对值不等式的性质，得到最小值，再通过列举即可得到格点．

解答：

解：（1）设点P（x，y），则有新定义可得，|x|+|y|=2，
则满足条件的格点的坐标为（0，2），（0，-2），（1，1），
（1，-1），（-1，1），（-1，-1），（2，0），（-2，0）；
（2）①动点的轨迹方程为|x+1|+|x-1|+2|y|=4，如图1所示轨迹为六边形．
②|x+1|+|x-1|+|y-1|+|y+1|=4，如图2所示轨迹为正方形及内部．
③|x+1|+|x-1|+|y-1|+|y+1|=8，如图3所示轨迹是八边形．

（3）设满足条件的格点的坐标为（x，y），
则由①，得|x+1|+|y+1|=|x-1|+|y-1|，当x≥1，y≥1，x+y+2=x+y-2不成立；
当x≤-1，y≤-1，方程也不成立；当x≥1，y≤-1，x+1-y-1=x-1+1-y成立；
当x≤-1，y≥1，也成立；当x≥1，-1＜y＜1，x+1+y+1=x-1+1-y，则y=-1；
当x≤-1，-1＜y＜1，则y=1；当-1＜x＜1，y≥1，x+1+y+1=1-x+y+1，则x=0；
当-1＜x＜1，y≤-1，x+1-y-1=1-x+1-y，则x=1；当-1＜x＜1，-1＜y＜1，
x+1+y+1=1-x+1-y，则x+y=0．
由②得，到C（-2，-2）、D（2，2）两点的“
直角距离”之和d=|x+2|+|x-2|+|y+2|+|y-2|≥

|（2+x）+（2-x）|+|（2+y）+（2-y）|
=4+4=8，当且仅当-2≤x≤2且-2≤y≤2，取得最小值8．
综合上面，可得格点为（2，-1），（2，-2），（1，-1），（1，-2），（0，0），（-1，2），（-1，1），（-2，2），（-2，1）．

点评：本题新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法及绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于压轴题和难题．

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