Question

已知球O的半径是R，A、B、C是球面上三点，且A与B、A与C、B与C的球面距离分别为，则四面体OABC的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根据题意可知：球心O与A，B，C三点构成三棱锥O-ABC，且OA=OB=OC=R，∠AOB=∠AOC=90°，∠BOC=60°，故AO⊥面BOC．所以此题可以A为顶点根据体积公式求得三棱锥O-ABC的体积．
解答：解：球心O与A，B，C三点构成三棱锥O-ABC，如图所示，
已知A与B、A与C、B与C的球面距离分别为，
OA=OB=OC=R，
∴∠AOB==90°，
∴同样可得∠AOB=∠AOC=90°，∠BOC=60°，
由此可得AO⊥面BOC．
∵=R²．
∴由V_O-ABC=V_A-BOC=×R²×R=．
故选A．
点评：本题考查求三棱锥的体积，解题过程中用到了换顶点的技巧，换顶点的目的是为了更方便用体积公式求值，立体几何中求体积时注意使用这一技巧．