Question

已知A、B是抛物线y²=2px（p＞0）上异于原点O的两点，则“

OA

•

OB

=0”是“直线AB恒过定点（2p，0）”的（　　）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．非充分非必要条件

Answer 1

分析：根据题意，利用抛物线方程设出A、B两点的坐标，根据向量共线的条件列式并利用抛物线方程化简整理，对充分性和必要性分别加以论证，可得答案．

解答：解：设点A，B的坐标分别为A（

1

2p

y₁²，y₁），B（

1

2p

y₂²，y₂）
充分性：若“

OA

•

OB

=0”成立，则

1

2p

y₁²•

1

2p

y₂²+y₁y₂=0，结合y₁y₂不等于0得

1

4p2

y₁y₂+1=0
∴y₁y₂=-4p²，
设C（2p，0），可得向量

AC

=（2p-

1

2p

y₁²，-y₁），

BC

=（2p-

1

2p

y₂²，-y₂），
∵（2p-

1

2p

y₁²）（-y₂）-（-y₁）（2p-

1

2p

y₂²）
=2p（y₁-y₂）+

1

2p

y₁²y₂-2p-

1

2p

y₂²y₁=

1

2p

（y₁-y₂）（4p²+y₁y₂）=

1

2p

（y₁-y₂）（4p²-4p²）=0
∴

AC

与

BC

共线，可得直线AB一定经过点C（2p，0），
结论“直线AB恒过定点（2p，0）”成立，可得充分性成立
必要性：若“直线AB恒过定点（2p，0）”成立，
设C（2p，0），则向量

AC

=（2p-

1

2p

y₁²，-y₁），

BC

=（2p-

1

2p

y₂²，-y₂），
∵

AC

与

BC

共线，
∴（2p-

1

2p

y₁²）（-y₂）-（-y₁）（2p-

1

2p

y₂²）=0
化简得

1

2p

（y₁-y₂）（4p²+y₁y₂）=0，
由于y₁-y₂不可能为0，所以4p²+y₁y₂=0，可得y₁y₂=-4p²，
因此，

OA

•

OB

=

1

2p

y₁²•

1

2p

y₂²+y₁y₂=y₁y₂（

1

4p2

y₁y₂+1）=0，
即结合“

OA

•

OB

=0”成立，故必要性成立
故选：C

点评：本题给出抛物线方程，判定关于直线过定点的一个充分必要条件．着重考查了抛物线的简单几何性质、向量共线的条件和充要条件的证明等知识，属于中档题．