Question

已知一个圆的圆心在x轴的正半轴上，且经过点（0，0），直线x-y=0被该圆截得的弦长为2，则该圆的方程是

1. A.
   x²+y²+4x=0
2. B.
   x²+y²-4x=0
3. C.
   x²+y²-6x=0
4. D.
   x²+y²-4x+2=0

Answer 1

B
分析：根据一个圆的圆心在x轴的正半轴上，设出圆心坐标为（a，0），且a大于0，半径为r，表示出圆的标准方程，由圆经过（0，0），把（0，0）代入所设的圆的方程，得到a=r，可得到圆心坐标为（r，0），然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，由已知弦长的一半，圆的半径r以及d，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解可得到r的值，确定出圆心坐标和半径，进而确定出圆的标准方程．
解答：由题意设圆心坐标为（a，0）（a＞0），圆的半径为r，
∴圆的方程为（x-a）²+y²=r²（r＞0），
又圆经过（0，0），
∴a²=r²，即a=r，
∴圆心坐标为（r，0），
∴圆心到直线x-y=0的距离d=，
又弦长为2，即弦长的一半为1，
∴r²=d²+1²，即r²=r²+1，
解得：r=2，
∴圆心坐标为（2，0），半径r=2，
则圆的标准方程为：（x-2）²+y²=4，即x²+y²-4x=0．
故选B
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，勾股定理，以及垂径定理，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．