Question

已知函数f(x)=loga(

x2+1

+bx)（a＞0且a≠1），给出如下判断：
①函数f（x）为R上的偶函数的充要条件是b=0；
②若a=

1

2

，b=-1，则函数f（x）为R上的减函数；
③当a＞1时，函数为R上的增函数；
④若函数f（x）为R上的奇函数，且为R上的增函数，则必有0＜a＜1，b=-1或a＞1，b=1．
其中所有正确判断的序号是

①④

．

Answer 1

分析：①由题意可得f（-x）=f（x）对若任意的x都成立，代入可求b
②当a=

1

2

，b=-1时，f（x）=log

1

2

(

1+x2

-x)，代入可得f（-x）=-f（x），则函数f（x）为奇函数，结合g（x）=

1+x2

-x=

1

1+x2 +x

在（0，+∞），及y=log

1

2

g(x)在R上单调性，可判断函数f（x）在（0，+∞）上单调性，然后由奇函数的性质判断函数f（x）在R上单调性
③当a＞1时，函数y=log_at单调递增，而t=

1+x2

+bx单调性不确定，
④若函数f（x）为R上的奇函数，则f（-x）=-f（x）对任意的x都成立，代入可求b，由函数f（x）为R上的增函数可求a的范围

解答：解：①由函数f（x）为R上的偶函数可得f（-x）=f（x）对若任意的x都成立
∴loga(

1+(-x)2

-bx)=loga(

1+x2

+bx)即

1+x2

-bx=

1+x2

+bx对任意的x都成立
∴bx=0对任意的x都成立，则b=0，故①正确
②当a=

1

2

，b=-1时，f（x）=log

1

2

(

1+x2

-x)，则f（-x）=log

1

2

(

1+x2

+x)=log

1

2

1

1-x2 -x

=-f（x），则函数f（x）为奇函数，由于g（x）=

1+x2

-x=

1

1+x2 +x

在（0，+∞）单调递减，y=log

1

2

g(x)在R上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，由奇函数的性质可知，函数f（x）在R上单调递增，故②错误
③当a＞1时，函数y=log_at单调递增，而t=

1+x2

+bx单调性不确定，故③错误
④若函数f（x）为R上的奇函数，则f（-x）=-f（x）对任意的x都成立，
则loga (

1+x2

-bx)=-loga(

1+x2

+bx)
∴

1+x2

-bx=

1

1+x2 +bx

∴（1-b²）x²=0对任意的x都成立
∴b=1或b=-1
∵函数f（x）为R上的增函数
当b=-1时，

1+x2

-x在R上单调递减，由复合函数的单调性可知，0＜a＜1
当b=1时，

1+x2

+x在R上单调递增，由复合函数的单调性可知，a＞1
故④正确
故答案为：①④

点评：本题主要考查了对数的基本运算，函数的奇偶性的判断及奇偶函数的单调性的性质的应用，复合函数的单调性的应用，综合性较强，要求考生具备综合应用函数的性质解题的能力