Question

四面体C-ABD中，CB=CD，AB=AD，∠BAD=90°． E、F，Q分别是BC、AC、BD的中点．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）在AC上确定一点M，使BF∥平面MED？并说明理由；
（3）若CQ为底面ABD的一条斜线段，请问CA，CB有可能相等吗？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）考虑到CB=CD，AB=AD，Q是BD的中点，故连接CQ、AQ，从而可得AQ⊥BD，CQ⊥BD，根据线面垂直的判定定理可证．
（2）由于F，E分别为AC，BC的中点，故考虑取FC的中点，从而有ME∥BQ，根据线与平面平行的判定定理可得
（3）假设CA=CB，则CA=CB=CD，则C在平面ABD的射影O为三角形ABD的外心，结合已知可得O与Q重合，即CQ⊥平面ABD，与已知矛盾，故不可能有CA=CB

解答：解：（1）连接CQ，AQ∵CB=CD，AB=AD且Q是BD的中点
∴BD⊥AQBD⊥CQ∵CQ∩AQ=Q
∴BD⊥平面AQC，∴BD⊥AC
（II）当M为CF的中点，即CM=

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CA时，可得BF∥EM
∵BF?平面MED，ME⊆平面MED
∴BF∥平面MED
（3）假设CA=CB，则CA=CB=CD，过C作CO⊥平面ABD，则O为△ABD的外心，即OA=OB=OD，
又△ABD为直角三角形，∠BAD=90°，
∴O为BD的中点从而O与Q重合
∴CQ⊥平面ABD 与CQ为底面ABD的一条斜线段矛盾
故CA，CB不可能相等

点评：本题主要考查了线与平面垂直与线与线垂直的相互转化，线与平面的平行的判定及“线线平行”与“线面平行”的转化，考查了空间想象能力及推理论证的能力．