Question

已知点M（-3，0），N（3，0），B（1，0），圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为

 

．

Answer 1

分析：PM，PN分别与圆C相切于R、Q，根据圆的切线长定理，能够推导出PM-PN=QM-RN=MB-NB=2＜MN，因此点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线．再根据题条件能够求出P点的轨迹方程．

解答：解：由已知，设PM，PN分别与圆C相切于R、Q，
根据圆的切线长定理，有PQ=PR，MQ=MB，NR=NB；
∴PM-PN=QM-RN=MB-NB=2＜MN
∴点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线，
由于M、N两点关于y轴对称，且在x轴上，
故其方程可设为标准方程：

x2

a2

-

y2

b2

 =1，
∵点M（-3，0），N（3，0），PM-PN=QM-RN=MB-NB=2，
∴c=3，a=1，所以b²=8
∴点P的轨迹方程为：x2-

y2

8

=1．

点评：本题考查双曲线的基本性质和圆的切线长定理，解题时要注意审题．