Question

已知长方体AC₁中，棱AB=BC=3，棱BB₁=4，连接B₁C，过B点作B₁C的垂线交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求证A₁C⊥平面EBD；
（2）求二面角B₁-BE-A₁的大小．

Answer 1

分析：（1）连接AC，只要证A₁C⊥BD，A₁C⊥BE，又BD∩BE=B满足线面垂直的判定定理所需条件；
（2）连接A₁F，可证BE⊥平面A₁B₁C，找出∠B₁FA₁就是二面角B₁-BE-A₁的平面角．最后在Rt△B₁FA₁中，求出此角的正弦值即可．

解答：解：（1）连接AC，则AC⊥BD，又AC是A₁C在平面ABCD内的射影
∴A₁C⊥BD；又∵A₁B₁⊥面B₁C₁CB，且A₁C在平面B₁C₁CB内的射影B₁C⊥BE，
∴A₁C⊥BE，
∵BD∩BE=B，∴A₁C⊥面EBD．
（2）连接A₁F，∵BE⊥B₁C，BE⊥A₁B₁，∴BE⊥平面A₁B₁C，
∴∠B₁FA₁就是二面角B₁-BE-A₁的平面角．
∵B1F=

B B 2 1

B1C

=

16

5

，A1B1=3，
∴tan∠A1FB1=

A1B1

B1F

=

15

16

，
所以二面角B₁-BE-A₁的大小 等于arctan

15

16

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．