Question

已知函数f（x）=e^x-x²，若?x∈[1，2]，不等式-m≤f（x）≤m²-4恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-∞，1-e]
• B、[1-e，e]
• C、[-e，e+1]
• D、[e，+∞）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由题意，求导再二阶求导，从而确定函数的单调性，从而求函数的最值，化恒成立问题为最值问题即可．

解答： 解：∵f（x）=e^x-x²，
∴f′（x）=e^x-2x，
∴f″（x）=e^x-2，
∵x∈[1，2]，
∴f″（x）=e^x-2＞0，
故f′（x）=e^x-2x在[1，2]上是增函数，
故f′（x）=e^x-2x≥e-2＞0；
故f（x）=e^x-x²在[1，2]上是增函数，
故e-1≤e^x-x²≤e²-4；
故-m≤f（x）≤m²-4恒成立可化为
-m≤e-1≤e²-4≤m²-4；
故m≥e；
故选D．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．