Question

设函数y=Asin(ωx+φ) (ω＞0，φ∈(-

π

2

，

π

2

))的最小正周期为π，且其图象关于直线x=

π

12

对称，则下面四个结论：
①图象关于点(

π

4

，0)对称；     
②图象关于点(

π

3

，0)对称；
③在[0，

π

12

]上是增函数；        
④在[-

π

12

，0]上是减函数；
正确结论的编号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,正弦函数的对称性

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据题意，先求出函数解析式，再判定函数的对称性以及单调区间，从而得出正确的结论．

解答： 解：∵函数y=Asin(ωx+φ) (ω＞0，φ∈(-

π

2

，

π

2

))的最小正周期为π，
∴

2π

ω

=π，
∴ω=2；
又函数图象关于直线x=

π

12

对称，
∴2×

π

12

+φ=

π

2

，
∴φ=

π

3

；
∴y=Asin（2x+

π

3

）；
∴当x=

π

4

时，y=Asin（2×

π

4

+

π

3

）=Asin

5π

6

≠0；
∴结论①错误；
当x=

π

3

时，y=Asin（2×

π

3

+

π

3

）=Asinπ=0，
∴结论②正确；
当x∈[0，

π

12

]时，2x+

π

3

∈[

π

3

，

π

2

]，
∴y=Asin（2x+

π

3

）是增函数；
∴结论③正确；
当x∈[-

π

12

，0]时，2x+

π

3

∈[

π

6

，

π

3

]，
∴y=Asin（2x+

π

3

）是增函数；
∴结论④错误；
所以，以上正确的结论是②③；
故答案为：②③．

点评：本题综合考查了形如y=Asin(ωx+φ) (ω＞0，φ∈(-

π

2

，

π

2

))的函数的周期性，对称性以及单调性问题，其中求出函数解析式是解题的关键．