Question

10．设函数f（x）=x²-（3k+2^k）x+3k•2^k，x∈R；
（1）若f（1）≤0，求实数k的取值范围；
（2）若k为正整数，设f（x）≤0的解集为[a_2k-1，a_2k]，求a₁+a₂+a₃+a₄及数列{a_n}的前2n项和S_2n；
（3）对于（2）中的数列{a_n}，设${b_n}=\frac{{{{（-1）}^n}}}{{{a_{2n-1}}{a_{2n}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由f（1）≤0，可得1-（3k+2^k）+3k•2^k≤0，化为：（2^k-1）（3k-1）≤0，解出即可得出实数k的取值范围．
（2）x²-（3k+2^k）x+3k•2^k≤0，化为（x-3k）（x-2^k）≤0，由于k为正整数，设f（x）≤0的解集为[a_2k-1，a_2k]，可得：当k=1时，2≤x≤3，a₁=2，a₂=3．当k=2时，4≤x≤6，a₃=4，a₄=6．当k=3时，8≤x≤9，a₅=8，a₆=9．当k=4时，12≤x≤16，a₇=12，a₈=16．当k≥5时，2^k=（1+1）^k＞3k．可得a_2k-1=3k，a_2k=2^k．（k=4时也成立）．即可得出数列{a_n}的前2n项和S_2n．
（3）对于（2）中的数列{a_n}，${b_n}=\frac{{{{（-1）}^n}}}{{{a_{2n-1}}{a_{2n}}}}$=$\frac{（-1）^{n}}{3n•{2}^{n}}$．可得：T₁=$-\frac{1}{6}$，T₂=$-\frac{1}{8}$，…，T_2n+1＜T_2n，而T_2n≤T₂，
即可得出．

解答 解：（1）∵f（1）≤0，∴1-（3k+2^k）+3k•2^k≤0，
化为：（2^k-1）（3k-1）≤0，∴$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{k}-1≤0}\\{3k-1≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{k}-1≥0}\\{3k-1≤0}\end{array}\right.$．
解得k∈∅，或$0≤k≤\frac{1}{3}$．
∴实数k的取值范围时$[0，\frac{1}{3}]$．
（2）x²-（3k+2^k）x+3k•2^k≤0，化为（x-3k）（x-2^k）≤0，
∵k为正整数，设f（x）≤0的解集为[a_2k-1，a_2k]，
∴当k=1时，2≤x≤3，∴a₁=2，a₂=3．
当k=2时，4≤x≤6，∴a₃=4，a₄=6．
当k=3时，8≤x≤9，∴a₅=8，a₆=9．
当k=4时，12≤x≤16，∴a₇=12，a₈=16．
当k≥5时，2^k=（1+1）^k≥2（1+${∁}_{k}^{1}$+${∁}_{k}^{2}$）=k²+k+2＞3k．
∴a_2k-1=3k，a_2k=2^k．（k=4时也成立）．
∴a₁+a₂+a₃+a₄=2+3+4+6=15．
n≥4时，数列{a_n}的前2n项和S_2n=a₁+a₂+…+a₈+a₉+a₁₀+…+a_2n-1+a_2n
=15+8+9+12+16+3（5+6+…+n）+（2⁵+2⁶+…+2ⁿ）
=60+3×$\frac{（n-4）（5+n）}{2}$+$\frac{32（{2}^{n-4}-1）}{2-1}$
=$\frac{3}{2}{n}^{2}$+$\frac{3}{2}$n-2+2ⁿ⁺¹．
经过验证，n=1，2，3时也成立．
∴S_2n=$\frac{3}{2}{n}^{2}$+$\frac{3}{2}$n-2+2ⁿ⁺¹．
（3）对于（2）中的数列{a_n}，${b_n}=\frac{{{{（-1）}^n}}}{{{a_{2n-1}}{a_{2n}}}}$=$\frac{（-1）^{n}}{3n•{2}^{n}}$．
∴b₁=-$\frac{1}{6}$，b₂=$\frac{1}{24}$，b₃=-$\frac{1}{72}$，b₄=$\frac{1}{192}$，…，
则T₁=$-\frac{1}{6}$，T₂=$-\frac{1}{8}$，…，T_2n+1＜T_2n，
而T_2n≤T₂，
∴数列{b_n}的前n项和T_n的最大值为$-\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式及其求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．