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已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1万件,需要另投入1.9万元.设R(x)(单位:万元)为销售收入,根据市场调查,得到
R(x)=
10x-
1
30
x3,0≤x≤10
200
3
,x>10
,其中x是年产量(单位:万件).
(Ⅰ)写出年利润W关于年产量x的函数解析式;
(Ⅱ)年产量x为多少时,该公司在这一品牌的生产中所获得的年利润最大?
分析:(Ⅰ)依据利润的计算方法,即利润=销售收入-投入,直接写出年利润函数即可.
(Ⅱ)分类讨论:当0≤x≤10时;当x>10时,分别求出分段上各个函数的最大值,最后综合得出当年产量为多少万件,公司所获得的利润最大即可.
解答:解:(Ⅰ)由利润=销售收入-投入可得:年利润函数为W(x)=
8.1x-
1
30
x3-10(0≤x≤10)
170
3
-1.9x(x>10)
(4分).
(Ⅱ)当0≤x≤10时,∵W(x)=8.1x-
1
30
x3-10
∴W′(x)=8.1-
1
10
x2=-
1
10
(x2-81)

令W′(x)=0,解得x=9(6分).若0≤x<9,则W′(x)>0;若9<x≤10,则W′(x)<0,
∴W(x)的最大值为W(9)=38.6(8分).
当x>10时,W(x)=
170
3
-1.9x<
113
3
<38.6
(9分).
综上可知,当x=9时W(x)的最大值为W(9)=38.6
答:当年产量为9万件,公司所获得的利润最大(10分).
点评:本题考查了分段函数,考查根据实际问题建立数学模型,以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力.以及函数与方程的思想,数形结合的思想.
练习册系列答案
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已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元,每生产千件需另投入2.7万元,设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)满足:(1)当0<x≤10时销售收入与生产服装的平方成一次关系,x=3千件时销售收入为10.5万元;x=9千件时销售收入为8.1万元.(2)当x>10时销售收入与生产服装的关系式为R(x)=
108
x
-
1000
3x2

(1)写出年利润W(万元)关于年出品x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该公式在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?

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R(x)=,其中x是年产量(单位:万件).
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(Ⅱ)年产量x为多少时,该公司在这一品牌的生产中所获得的年利润最大?

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