Question

已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1万件，需要另投入1.9万元．设R（x）（单位：万元）为销售收入，根据市场调查，得到
R（x）=

10x- 1 30 x3，0≤x≤10 200 3 ，x＞10

，其中x是年产量（单位：万件）．
（Ⅰ）写出年利润W关于年产量x的函数解析式；
（Ⅱ）年产量x为多少时，该公司在这一品牌的生产中所获得的年利润最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）依据利润的计算方法，即利润=销售收入-投入，直接写出年利润函数即可．
（Ⅱ）分类讨论：当0≤x≤10时；当x＞10时，分别求出分段上各个函数的最大值，最后综合得出当年产量为多少万件，公司所获得的利润最大即可．

解答：解：（Ⅰ）由利润=销售收入-投入可得：年利润函数为W（x）=

8.1x- 1 30 x3-10(0≤x≤10) 170 3 -1.9x(x＞10)

（4分）．
（Ⅱ）当0≤x≤10时，∵W（x）=8.1x-

1

30

x3-10∴W′（x）=8.1-

1

10

x2=-

1

10

(x2-81)
令W′（x）=0，解得x=9（6分）．若0≤x＜9，则W′（x）＞0；若9＜x≤10，则W′（x）＜0，
∴W（x）的最大值为W（9）=38.6（8分）．
当x＞10时，W（x）=

170

3

-1.9x＜

113

3

＜38.6（9分）．
综上可知，当x=9时W（x）的最大值为W（9）=38.6
答：当年产量为9万件，公司所获得的利润最大（10分）．

点评：本题考查了分段函数，考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．以及函数与方程的思想，数形结合的思想．