Question

【题目】设集合是由数列组成的集合，其中数列同时满足以下三个条件：

①数列共有项，；②；③

（1）若等比数列，求等比数列的首项、公比和项数；

（2）若等差数列是递增数列，并且，常数，求该数列的通项公式；

（3）若数列，常数，，求证：.

Answer 1

【答案】（1）或，公比，项数（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）讨论和两种情况，代入公式计算得到得到答案.

（2）设等差数列的公差是，，计算得到则，

，相减得到，计算得到答案.

（3）设是的一个排列，并且则同理得到证明.

（1）数列有20项，若，由于，得，不合题意，舍去；

若，由于，得，

于是或；

（2）设等差数列的公差是，，

因为，所以，

因为，所以，，

则，，

两式相减得，即，又，得，；

（3）因为，所以存在，，

设是的一个排列，并且，那么

，

，，

所以，同理，即

.