Question

已知椭圆E：的左焦点，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF₁相切于线段DF₁的中点F．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知两点Q（-2，0），M（0，1）及椭圆G：，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？
（Ⅲ） 过坐标原点O的直线交椭圆W：于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）连接DF₂，FO，由题设条件能够推导出，在Rt△FOF₁中，b²+（a-b）²=c²=5，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得椭圆G：，设直线l的方程为y=k（x+2），并代入得：（k²+4）x²+4k²x+4k²-4=0，利用根的判别式、中点坐标公式推导出当k=0或或时，直线MN过椭圆G的顶点．
（Ⅲ）法一：由椭圆W的方程为，设P（m，n），则A（-m，-n），C（m，0），直线AC的方程为，过点P且与AP垂直的直线方程为，由此能够证明PA⊥PB．
法二：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为，设P（m，n），则A（-m，-n），C（m，0），故，，由此能够证明PA⊥PB．
解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）连接DF₂，FO（O为坐标原点，F₂为右焦点），
由题意知：椭圆的右焦点为
因为FO是△DF₁F₂的中位线，且DF₁⊥FO，
所以|DF₂|=2|FO|=2b，
所以|DF₁|=2a-|DF₂|=2a-2b，
故．…（2分）
在Rt△FOF₁中，
即b²+（a-b）²=c²=5，又b²+5=a²，解得a²=9，b²=4，
所求椭圆E的方程为．…（4分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得椭圆G：
设直线l的方程为y=k（x+2）并代入
整理得：（k²+4）x²+4k²x+4k²-4=0
由△＞0得：，…（5分）
设H（x₁，y₁），K（x₂，y₂），N（x，y）
则由中点坐标公式得：…（6分）
①当k=0时，有N（0，0），直线MN显然过椭圆G的两个顶点（0，-2），（0，2）．…（7分）
②当k≠0时，则x≠0，直线MN的方程为
此时直线MN显然不能过椭圆G的两个顶点（0，-2），（0，2）；
若直线MN过椭圆G的顶点（1，0），则，即x+y=1，
所以，解得：（舍去），…（8分）
若直线MN过椭圆G的顶点（-1，0），则，即x-y=-1，
所以，
解得：（舍去）．…（9分）
综上，当k=0或或时，直线MN过椭圆G的顶点．…（10分）
（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为，…（11分）
根据题意可设P（m，n），则A（-m，-n），C（m，0）
则直线AC的方程为，…①
过点P且与AP垂直的直线方程为，…②
①×②并整理得：，
又P在椭圆W上，所以，
所以，
即①、②两直线的交点B在椭圆W上，所以PA⊥PB．…（14分）
法二：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为
根据题意可设P（m，n），则A（-m，-n），C（m，0），
∴，，
所以直线，
化简得，
所以，
因为x_A=-m，所以，则．…（12分）
所以，则k_PA•k_PB=-1，故PA⊥PB．…（14分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线垂直的证明，探索满足条件的实数的取值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想、分类讨论思想和函数方程思想的合理运用．