Question

已知函数f(x)=

1+lnx

x-1

(x＞1)
（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（2）若当x＞1时，f(x)＞

k

x

恒成立，求正整数k的最大值．

Answer 1

分析：（1）对f（x）进行求导，证明其导数大于0即可，注意其定义域；
（2）已知当x＞1时，f(x)＞

k

x

恒成立，将问题转化为g（x）的最小值大于k即可，对g（x）进行求导，利用导数研究函数g（x）的最值问题，从而求解；

解答：解：（1）∵f(x)=

1+lnx

x-1

，
∴f′(x)=

-1-xlnx

(x-1)2

，当x＞1时，
∴f'（x）＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上的单调递减．
（2）令g(x)=

x(1+lnx)

x-1

，则x＞1时，g（x）＞k恒成立，
只需g（x）_min＞k，g′(x)=

x-2-lnx

(x-1)2

，
记h（x）=x-2-lnx，
∴h′(x)=1-

1

x

＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上连续递增，又h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上存在唯一的实根a，且满足a∈（3，4），使得a-2-lna=0，即a-1=1+lna，
∴当1＜x＜a时h（x）＜0，即g'（x）＜0；当x＞a时h（x）＞0，
即g'（x）＞0，g(x)min=g(a)=

a(1+lna)

a-1

=a∈(3，4)，
故正整数k的最大值为3；

点评：此题主要考查利用导数研究函数的最值问题，还考查了函数的恒成立问题，解题的过程中用到了转化的思想，是一道中档题；