Question

【题目】如图，为圆的直径，点在圆上，，矩形所在平面和圆所在的平面互相垂直，已知．

（1）求证：平面平面；

（2）求四棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由题易证得到AF⊥C和AF⊥BF，利用线面垂直的判定可得AF⊥平面CBF，从而得到平面DAF⊥平面CBF；

（2）几何体F-ABCD是四棱锥，连接OE，OF，取E，F的中点G，连接OG，可知点F到平面ABCD的距离等于OG，再由棱锥体积公式求解．

（1）证明：如图，∵矩形ABCD，∴CB⊥AB，

又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，

∴CB⊥平面ABEF，

∵AF平面ABEF，∴AF⊥CB．

又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，

∵CB∩BF=B，CB，BF平面CBF，∴AF⊥平面CBF，

∵AF平面DAF，∴平面DAF⊥平面CBF；

（2）解：几何体F-ABCD是四棱锥，连接OE，OF，则OE=OF=EF=1，

∴△OEF是等边三角形，取E，F的中点G，连接OG，则，且OG⊥EF．

∵AB∥EF，∴OG⊥AB，

又∵平面ABCD⊥平面ABEF．

∴OG⊥平面ABCD．

∴点F到平面ABCD的距离等于OG，又，

∴．