Question

【题目】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点.

求证：(1)DE∥平面ACC1A1；

(2)AE⊥平面BCC1B1.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）连结A1B，可证出DE∥A1C，再由线面平行的判断定理即可证出.

（2）由(1)知DE∥A1C，且A1C⊥BC1，可得BC1⊥DE，结合BC1⊥AB1，可证出BC1⊥平面ADE，由线面垂直的定义可证出AE⊥BC1，利用线面垂直的判断定理即可证出结论.

连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，

所以四边形AA1B1B是平行四边形.

又因为D是AB1的中点，所以D也是BA1的中点．

在△BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE∥A1C.

又因为DE平面ACC1A1，A1C平面ACC1A1，

所以DE∥平面ACC1A1.

(2)由(1)知DE∥A1C，因为A1C⊥BC1，所以BC1⊥DE.

又因为BC1⊥AB1，AB1DE＝D，AB1，DE平面ADE，所以BC1⊥平面ADE.

又因为AE平在ADE，所以AE⊥BC1.

在△ABC中，AB＝AC，E是BC的中点，所以AE⊥BC.

因为AE⊥BC1，AE⊥BC，BC1BC＝B，BC1，BC平面BCC1B1，所以AE⊥平面BCC1B1.