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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2数学公式的正三角形，点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．
    （1）求证：A1A⊥BC；
    （2）当侧棱AA1和底面成45°角时，求二面角A1-AC-B的余弦值．

    解：（1）证明：连接AO，
    A1O⊥面ABC，AO是A1A在面ABC的射影，∵AO⊥BC，
    由三垂线定理，A1A⊥BC．
    （2）由（1）知，∠A1AO为AA1与底面所成的角，∴∠A1AO=45°
    ∵底面是边长为2的正三角形，∴AO=3
    ∴A1O=3，AA1=3
    过O作OE⊥AC于E，连接A1E，由三垂线定理得A1E⊥AC，
    ∴∠A1EO为二面角A1-AC-B的平面角
    ∵OE=，∴tan∠A1EO==2，
    cos∠A1EO=
    即二面角A1-AC-B的余弦值为．
    分析：（1）根据三垂线定理证明线线垂直即可；
    （2）利用三垂线定理作二面角的平面角，再解三角形求解．
    点评：本题考查线面垂直的性质及二面角的平面角．可利用三垂线定作二面角的平面角．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知三棱柱ABC-A1B1C1的三视图如图所示，其中主视图AA1B1B和左视图B1BCC1均为矩形，在俯视图△A1B1C1中，A1C1=3，A1B1=5，cos∠A1=
    35
    ．
    （1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，求证：BC⊥AC1；
    （2）在三棱柱ABC-A1B1C1中，若D是底边AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1．
    （3）若三棱柱的高为5，求三视图中左视图的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB=
    AA13
    =a，E，F分别是BB1，CC1上的点且BE=a，CF=2a．
    （Ⅰ）求证：面AEF⊥面ACF；
    （Ⅱ）求三棱锥A1-AEF的体积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=
    		5
    ，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
    （1）求点C到平面A1ABB1的距离；
    （2）求二面角A-BC1-B1的余弦值；
    （3）若M，N分别为直线AA1，B1C上动点，求MN的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•江西）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=
    		5
    ，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
    （1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；
    （2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•北京）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．
    （Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；
    （Ⅱ）求证二面角A1-BC1-B1的余弦值；
    （Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求
    BDBC1
    的值．

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