Question

已知f(x)=

xn-x-n

xn+x-n

，n∈N^*，试比较f(

2)

与

n2-1

n2+1

的大小，并且说明理由．

Answer 1

f(

2

)=

( 2 )n-( 2 )-n

( 2 )n+( 2 )-n

=

2n-1

2n+1

=1-

2

2n+1

，
而

n2-1

n2+1

=1-

2

n2+1

，
∴f(

2

)与

n2-1

n2+1

的大小等价于2ⁿ与n²的大小．
当n=1时，2¹＞1²；当n=2时，2²=2²；
当n=3时，2³＜3²；当n=4时，2⁴=4²；
当n=5时，2⁵＞5²．
猜想当n≥5时，2ⁿ＞n²．
以下用数学归纳法证明：
①当n=5时，由上可知不等式成立；
②假设n=k（k≥5）时，不等式成立，即2^k＞k²，则
当n=k+1时，2^k+1=2•2^k＞2k²，
又∵2k²-（k+1）²=（k-1）²-2＞0（∵k≥5），即2^k+1＞（k+1）²，
∴n=k+1时，不等式成立．
综合①②对n≥5，n∈N^*不等式2ⁿ＞n²成立．
∴当n=1或n≥5时，f(

2

)＞

n2-1

n2+1

；
当n=3时，f(

2

)＜

n2-1

n2+1

；
当n=2或4时，f(

2

)=

n2-1

n2+1

．