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椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
与直线x+y-1=0相交于P、Q两点,且
OP
OQ
(O为坐标原点).
(Ⅰ)求证:
1
a2
+
1
b2
等于定值;
(Ⅱ)当椭圆的离心率e∈[
3
3
2
2
]
时,求椭圆长轴长的取值范围.
分析:(Ⅰ)联立方程组
b2x2+a2y2=a2b2
x+y-1=0
,消去y得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,由△>0推出a2+b2>1,设点P(x1,y1),Q(x2,y2),由
OP
OQ
=0
,得x1x2+y1y2=0,由此能够推导出
1
a2
+
1
b2
=2

(Ⅱ)由由、题高级条件能够推导出a2=
2-e2
2(1-e2)
=
1
2
+
1
2(1-e2)
,再由e∈[
3
3
2
2
]
a2∈[
5
4
3
2
]
,由此能够推陈出新导出长轴长的取值范围.
解答:(1)证明:
b2x2+a2y2=a2b2
x+y-1=0

消去y得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0
△=4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)>0,a2+b2>1
设点P(x1,y1),Q(x2,y2),
x1+x2=
2a2
a2+b2
x1x2=
a2(1-b2)
a2+b2

OP
OQ
=0
,x1x2+y1y2=0,
即x1x2+(1-x1)(1-x2)=0
化简得2x1x2-(x1+x2)+1=0,
2a2(1-b2)
a2+b2
-
2a2
a2+b2
+1=0

即a2+b2=2a2b2,故
1
a2
+
1
b2
=2

(Ⅱ)解:由e=
c
a
b2=a2-c2a2+b2=2a2b2

化简得a2=
2-e2
2(1-e2)
=
1
2
+
1
2(1-e2)

e∈[
3
3
2
2
]
a2∈[
5
4
3
2
]

a∈[
5
2
6
2
]

故椭圆的长轴长的取值范围是[
5
6
]
点评:本题考查椭圆的性质和应用,具有一定的难度,解题时要细心解答,避免出现不必要的错误.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e=
2
2
,右准线方程为x=2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点,且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
,求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1(a>b>0)与过点A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=
3
2

(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,求证:|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1(a>b>0)与过点A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=
3
2

(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,M为线段AF1的中点,求证:∠ATM=∠AF1T.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设 A(x1,y1)、B(x2,y2)是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上的两点,O为坐标原点,向量
m
=(
x1
a
y1
b
),
n
=(
x2
a
y2
b
)
m
n
=0

(1)若A点坐标为(a,0),求点B的坐标;
(2)设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
,证明点M在椭圆上;
(3)若点P、Q为椭圆 上的两点,且
PQ
OB
,试问:线段PQ能否被直线OA平分?若能平分,请加以证明;若不能平分,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:四川 题型:解答题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e=
2
2
,右准线方程为x=2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点,且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
,求直线l的方程.

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