Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）=-f（x），f（x）在[0，2]上是增函数，则下列结论：
①若0＜x＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=4，则f（x₁）+f（x₂）＞0；
②若0＜x＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=5，则f（x₁）＞f（x₂）；
③若方程f（x）=m在[-8，8]内恰有四个不同的解，x₁、x₂、x₃、x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄=±8．
其中正确的命题的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：由f（x+4）=-f（x）可得f（x+8）=f（x），则函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，结合函数的 性质作出函数的图象，即可求解

解答：解：由f（x+4）=-f（x）可得f（x+8）=f（x），此函数是以8为周期的周期函数，
又f（x）是奇函数，且在[0，2]上为增函数
∴f（x）在[-2，0]上也是增函数
当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，且由已知可得f（x-4）=-f（x），则可得函数f（x）在[2，4]上单调递减，根据奇函数的对称性可知，f（x）在[-4，-2]上也是单调递减
①若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=4，则0＜x₁＜4-x₁＜4，即0＜x₁＜2，-2＜x₁-4＜0
由f（x）在[0，2]上是增函数可得f（x）在[-2，0]上也是增函数，则f（x₁）＞f（x₁-4）=f（-x₂）=-f（x₂），则f（x₁）+f（x₂）＞0；故①正确
②若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=5，则0＜x₁＜5-x₁＜4，即1＜x1＜

5

2

，f（x）在[0，2]上是增函数，由图可知：f（x₁）＞f（x₂）；故②正确；
③四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（-6），另两个交点的横坐标之和为2×2，此时x₁+x₂+x₃+x₄=-12+4=-8，故③正确；
故答案为①②③

点评：数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题，使用了数形结合的方法，可以简化基本运算