Question

设曲线C：f（x）=lnx-ex（e=2.71828…），f′（x）表示f（x）导函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）数列{a_n}满足a₁=e，an+1=2f′(

1

an

)+3e．求证：数列{a_n}中不存在成等差数列的三项；
（Ⅲ）对于曲线C上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，求证：存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直线AB的斜率等于f′（x₀）．

Answer 1

分析：（I）先对函数进行求导，讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值即可．
（II）根据递推关系求出数列通项an，假设数列{an}中存在成等差数列的三项a_r，a_s，a_t，寻求矛盾即可．
（III）假设存在，再进行论证

解答：解：（I）f′(x)=

1

x

-e=

1-ex

x

=0，得x=

1

e

当x变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表：

x	(0， 1 e )	1 e	( 1 e ，+∞)
f′（x）	+	0	-
f（x）	单调递增	极大值	单调递减

∴当x=

1

e

时，f（x）取得极大值f(

1

e

)=-2，没有极小值；      …（4分）
（II）∵an+1=2f′(

1

an

)+3e，∴a_n+1=2a_n+e

an+1+e

an+e

=2，∴a_n=e（2ⁿ-1）…（6分）
假设数列{a_n}中存在成等差数列的三项a_r，a_s，a_t（r＜s＜t），
则2a_s=a_r+a_t，2e（2^s-1）=e（2^r-1）+e（2^t-1），2^s+1=2^r+2^t，∴2^s-r+1=1+2^t-r又s-r+1＞0，t-r＞0，
∴2^s-r+1为偶数，1+2^t-r为奇数，假设不成立
因此，数列{a_n}中不存在成等差数列的三项   …（8分）
（III）∵f′（x₀）=k_AB，∴

1

x0

-e=

lnx2-lnx1-e(x2-x1)

x2-x1

，∴

x2-x1

x0

-ln

x2

x1

=0
即x0ln

x2

x1

-(x2-x1)=0，设g(x)=xln

x2

x1

-(x2-x1)g(x1)=x1ln

x2

x1

-(x2-x1)，

g(x1)|

/ x1

=ln

x2

x1

-1＞0，g（x₁）是x₁的增函数，
∵x₁＜x₂，∴g(x1)＜g(x2)=x2ln

x2

x2

-(x2-x2)=0；g(x2)=x2ln

x2

x1

-(x2-x1)，

g(x2)|

/ x2

=ln

x2

x1

-1＞0，g（x₂）是x₂的增函数，
∵x₁＜x₂，∴g(x2)＞g(x1)=x1ln

x1

x1

-(x1-x1)=0，
∴函数g(x)=xln

x2

x1

-(x2-x1)在（x₁，x₂）内有零点x₀，…（10分）
又∵

x2

x1

＞1，∴ln

x2

x1

＞0，函数g(x)=xln

x2

x1

-(x2-x1)在（x₁，x₂）是增函数，
∴函数g(x)=

x2-x1

x

-ln

x2

x1

在（x₁，x₂）内有唯一零点x₀，命题成立…（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及等差数列的性质，属于中档题．