Question

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量

m

=(2sin(A+C)， 

3

)， 

n

=(cos2B， 2cos2

B

2

-1)，且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件利用两个向量共线的性质求得tan2B的值，再根据△ABC为锐角三角形，B的值．
（Ⅱ）若b=1，则由余弦定理、基本不等式求得 ac 的最大值，可得△ABC面积为

1

2

ac•sinB，求得它的最大值

解答：解：（Ⅰ）∵向量

m

=(2sin(A+C)， 

3

)， 

n

=(cos2B， 2cos2

B

2

-1)，且

m

∥

n

．
∴2sin（A+C）（2cos2

B

2

-1）-

3

cos2B=0，即 2sinBcosB=

3

cos2B，
∴tan2B=

sin2B

cos2B

=

3

．
再根据△ABC为锐角三角形，可得0＜B＜

π

2

，∴2B=

π

3

，B=

π

6

．
（Ⅱ）若b=1，则由余弦定理可得 b²=1=a²+c²-2ac•cosB≥2ac-

3

ac，
解得 ac≤

1

2- 3

=2+

3

，当且仅当a=c时，取等号，
故△ABC面积的最大值为

1

2

ac•sinB=

1

2

（2+

3

）•

1

2

=

2+ 3

4

．

点评：本题主要考查两个向量共线的性质，正弦定理和余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．