直线l:y=k(x-1)过已知椭圆经过点(0.).离心率为.经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A.B两点.点A.F.B在直线x=4上的射影依次为点D.K.E．(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)若直线l交y轴于点M.且.当直线l的倾斜角变化时.探求λ+μ的值是否为定值?若是.求出λ+μ的值.否则.说明理由,(Ⅲ)连接AE.BD.试探索当直线l的倾斜角变化时.直线AE与BD是否相交于定� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

直线l：y=k（x-1）过已知椭圆

经过点（0，

），离心率为

，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且

，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值？若是，求出λ+μ的值，否则，说明理由；
（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．

【答案】分析：（Ⅰ）由题设知

，因为a²=b²+c²a²=4，c²=1，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l方程y=k（x-1），且l与y轴交于M（0，-1），设直线l交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，再由韦达定理结合题设条件能够推导出当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值

．
（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点

猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点

．
证明：由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），知D（4，y₁），E（4，y₂）．当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点

再证点

也在直线l_BD上；所以当m变化时，AE与BD相交于定点

．
解答：解：（Ⅰ）由题设知

，因为a²=b²+c²a²=4，c²=1，∴椭圆C的方程

（3分）
（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设直线l方程y=k（x-1），且l与y轴交于M（0，-k），设直线l交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴

（6分）
又由

，
∴（x₁，y₁）=λ（1-x₁，-y₁），
∴

，同理∴

（8分）
∴

所以当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值

；（10分）
（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点

猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点

（11分）
证明：由（Ⅱ）知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（4，y₁），E（4，y₂）
当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点

∵

当

时，

∴点

在直线l_AE上，同理可证，点

也在直线l_BD上；∴当m变化时，AE与BD相交于定点

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用圆锥曲线性质，注意合理地进行等价转化．

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