Question

已知集合A={x|x²-2x-3≤0}，B={x|x²-2mx+m²-9≤0，x∈R，m∈R}
（Ⅰ）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；
（Ⅱ）若命题P：x∈A，命题Q：x∈C_RB，且P是Q的充分不必要条件，求m的取值范围．

Answer 1

分析：求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，求出集合B中不等式的解集，表示出集合B，
（Ⅰ）由两集合的交集为[0，3]，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
（Ⅱ）命题P：x∈A，命题Q：x∈C_RB，且P是Q的充分不必要条件，得到A为B补集的真子集，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．

解答：解：由集合A中的不等式x²-2x-3≤0，变形得：（x-3）（x+1）≤0，
解得：-1≤x≤3，
∴集合A=[-1，3]，
由集合B中的不等式x²-2mx+m²-9≤0，因式分解得：（x-m-3）（x-m+3）≤0，
解得：m-3≤x≤m+3，
∴集合B=[m-3，m+3]，
（Ⅰ）∵A∩B=[0，3]，
∴m-3=0，m+3≥3，
解得：m=3，
则m的值为3；
（Ⅱ）∵命题P：x∈A，命题Q：x∈C_RB，且P是Q的充分不必要条件，
∴A?C_RB，
又集合B=[m-3，m+3]，全集为R，
∴C_RB=（-∞，m-3）∪（m+3，+∞），
∴m-3＞3或m+3＜-1，
解得：m＞6或m＜-4，
则m的范围为m＞6或m＜-4．

点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，以及必要条件，充分条件及充要条件的判断，其中根据题意列出关于m的方程及不等式是解本题的关键．