Question

已知两点M（1，

5

4

），N（-4，-

5

4

），给出下列曲线方程：
①4x+2y-1=0；
②x²+y²=3；
③

x2

2

+y²=1；
④

x2

2

-y²=1．
在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（　　）

• A、①③
• B、②④
• C、①②③
• D、②③④

Answer 1

分析：要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交．根据M，N的坐标求得MN垂直平分线的方程，分别于题设中的方程联立，看有无交点即可．

解答：解：要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交．
MN的中点坐标为（-

3

2

，0），MN斜率为

10 4

5

=

1

2

∴MN的垂直平分线为y=-2（x+

3

2

），
∵①4x+2y-1=0与y=-2（x+

3

2

），斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意．
②x²+y²=3与y=-2（x+

3

2

），联立，消去y得5x²-12x+6=0，△=144-4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN的垂直平分线有交点，
③中的方程与y=-2（x+

3

2

），联立，消去y得9x²-24x-16=0，△＞0可知③中的曲线与MN的垂直平分线有交点，
④中的方程与y=-2（x+

3

2

），联立，消去y得7x²-24x+20=0，△，0可知④中的曲线与MN的垂直平分线有交点，
故选D

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．一般是把直线与圆锥曲线的方程联立，利用判别式来判断二者的位置关系．