【题目】已知数列{an}满足:an(n∈N*).若正整数k(k≥5)使得a12+a22+…+ak2=a1a2…ak成立,则k=( )
A.16B.17C.18D.19
【答案】B
【解析】
由题意可得a1=a2=a3=a4=a5=2,a6=a1a2a3…a5﹣1=25﹣1=31,n≥6时,a1a2…an﹣1=1+an,将n换为n+1,两式相除整理得an2=an+1﹣an+1,n≥6,求得a62+a72+…+ak2=ak+1﹣a6+k﹣5,结合已知条件,即可得到所求值.
解:an(n∈N*),
即a1=a2=a3=a4=a5=2,a6=a1a2a3…a5﹣1=25﹣1=31,
n≥6时,a1a2…an﹣1=1+an,所以a1a2…an=1+an+1,
两式相除可得an,
则an2=an+1﹣an+1,n≥6,
由a62=a7﹣a6+1,
a72=a8﹣a7+1,
…,
ak2=ak+1﹣ak+1,k≥5,
可得a62+a72+…+ak2=ak+1﹣a6+k﹣5
a12+a22+…+ak2=20+ak+1﹣a6+k﹣5=ak+1+k﹣16,
且a1a2…ak=1+ak+1,
正整数k(k≥5)使得a12+a22+…+ak2=a1a2…ak成立,
则ak+1+k﹣16=ak+1+1,
则k=17,
故选:B.
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【题目】,,,,,六名同学参加一项比赛,决出第一到第六的名次.,,三人去询问比赛结果,裁判对说:“你和都不是第一名”;对说:“你不是最差的”;对说:“你比,的成绩都好”,据此回答六人的名次有_____________种不同情况.
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【题目】《复仇者联盟4:终局之战》是安东尼·罗素和乔·罗素执导的美国科幻电影,改编自美国漫威漫画,自2019年4月24日上映以来票房火爆.某电影院为了解在该影院观看《复仇者联盟4》的观众的年龄构成情况,随机抽取了100名观众的年龄,并分成,,,,,,七组,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求这100名观众年龄的平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)、中位数;
(2)该电影院拟采用抽奖活动来增加趣味性,观众可以选择是否参与抽奖活动(不参与抽奖活动按原价购票),活动方案如下:每张电影票价格提高10元,同时购买这样电影票的每位观众可获得3次抽奖机会,中奖1次则奖励现金元,中奖2次则奖励现金元,中奖三次则奖励现金元,其中且,已知观众每次中奖的概率均为.
①以某观众三次抽奖所获得的奖金总额的数学期望为评判依据,若要使抽奖方案对电影院有利,则最高可定为多少;
②据某时段内的统计,当时该电影院有600名观众选择参加抽奖活动,并且每增加1元,则参加抽奖活动的观众增加100人.设该时间段内观影的总人数不变,抽奖活动给电影院带来的利润的期望为,求的最大值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为(为参数),设直线的极坐标方程为.
(1)将曲线的参数方程化为普通方程,并指出其曲线是什么曲线;
(2)设直线与轴的交点为为曲线上一动点,求的最大值.
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【题目】记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆,以椭圆的焦点为顶点作相似椭圆.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,且与椭圆仅有一个公共点,试判断的面积是否为定值(为坐标原点)?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个,同时,在每个顶点处染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置?
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【题目】某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元,某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨.
(1)求y关于x的函数;
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
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【题目】判断下列命题是否正确,请说明理由:
(1)若向量 与 同向,且,则;
(2)若向,则 与的长度相等且方向相同或相反;
(3)对于任意向量,若 与的方向相同,则 =;
(4)由于 方向不确定,故 不与任意向量平行;
(5)向量 与平行,则向量 与方向相同或相反.
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